ЗНО

https://www.iznotest.info/matematika-2/ 

 

            Планування роботи Т Г на 2020-2021 н.р.

Тема: «Педагогічна підтримка розвитку самоосвітньої діяльності учнів при підготовці до ЗНО з математики»

Основні завдання творчої групи:

-         Дослідження умов формування самоосвітньої діяльності учнів;

-         Створення програмно-методичного забезпечення самоосвітньої діяльності учнів на різних етапах підготовки до ЗНО з математики;

-         Використання тестових завдань на уроках математики.

-         Створення банку методичних напрацювань для підготовки до ЗНО з певних тем курсу математики.

-         Підготовка методичних рекомендацій з питань організації підготовки до ЗНО. Узагальнення досвіду.

Метою створення творчої групи стало:  активізація методичної професійної діяльності вчителя, стимулювання безперервної фахової освіти, підвищення відповідальності за результати навчання та виховання учнів,  пошук ефективних шляхів та методів розв’язку тестових завдань.

Кінцева мета роботи групи: створення банку методичних напрацювань для підготовки до ЗНО з математики.

Очікувані результати роботи групи:  створення та наповнення блогу з даної проблеми.

   Для зручності планування процесу підготовки до ЗНО курс розділений на 19 тем:
1. Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Тема 1. Числа та вирази.
1.1.Типи чисел.
1.2. Задачі на подільність.
1.3. Задачі на ділення з остачею. НСД та НСК.
Тема 2. Дроби, відсотки та пропорції.
2.1. Раціональні дроби.
2.2. Відношення та пропорції.
2.3. Десяткові дроби.
2.4. Відсотки.
Тема 3. Степінь, корінь, модуль, логарифм.
3.1. Степінь.
3.2. Корінь.
3.3. Модуль.
3.4. Логарифм.
2. Алгебра і початки аналізу. Перетворення виразів.
Тема 4. Перетворення виразів.
4.1. Формули скороченого множення.
4.2. Перетворення ірраціональних виразів.
4.3. Звільнення від ірраціональності.
4.4. Перетворення логарифмічних виразів.
4.5. Означення тригонометричних функцій. Основні тригонометричні тотожності.
4.6.Спрощення тригонометричних виразів.
4.7.Обчислення значень тригонометричних виразів і функцій.
4.8. Знаходження основного періоду тригонометричних функцій.
4.9. Обернені тригонометричні функції, обчислення їх значень.
3. Алгебра і початки аналізу. Функції.
Тема 5. Числові послідовності.
5.1. Арифметична прогресія.
5.2. Геометрична прогресія.
Тема 6. Функції та їх графіки.
6.1. Основні елементарні функції та їх характеристики. Графіки.
6.2. Обернена функція.
6.3. Елементарні перетворення графіків функцій.
6.4. Побудова графіків функцій.
4. Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Тема 7. Рівняння.
7.1. Означення рівнянь.
7.2. Лінійні рівняння.
7.3. Квадратні рівняння: дискримінант.
7.4. Квадратні рівняння: Теорема Вієта.
7.5. Квадратні рівняння: Виділення повного квадрату.
7.6. Рівняння, що зводяться до квадратних.
7.7. Рівняння з модулем.
7.8. Ірраціональні рівняння.
7.9. Розв’язання ірраціональних рівнянь.
Тема 8. Трансцендентні рівняння.
8.1. Показникові рівняння.
8.2. Логарифмічні рівняння
8.3. Тригонометричні рівняння.
5. Алгебра і початки аналізу. Системи рівнянь. Нерівності. Текстові задачі.
Тема 9. Системи рівнянь.
9.1. Системи рівнянь.
9.2. Симетричні системи.
9.3. Однорідні системи.
Тема 10. Нерівності.
10.1. Метод інтервалів.
10.2. Трансцендентні нерівності.
10.3. Тригонометричні нерівності
Тема 11. Застосування властивостей функцій при  розв’язанні рівнянь та нерівностей.
11.1. Графічне розв’язання рівнянь і нерівностей.
11.2. Задачі на область значень.
11.3. Побудова нерівностей.
Тема 12. Текстові задачі.
12.1. Задачі на рух.
12.2. Задачі на спільну роботу.
12.3. Задачі на відсотки і суміші.
6. Алгебра і початки аналізу. Похідна та інтеграл.
Тема 13. Похідна та інтеграл.
13.1. Означення та таблиця похідних. Правила диференціювання.
13.2. Похідна складеної функції.
13.3. Похідні вищих порядків.
13.4. Рівняння дотичної. Геометричний зміст похідної.
13.5. Фізичний зміст похідної.
13.6. Дослідження функції на монотонність.
13.7. Найбільші та найменші значення функції на відрізку.
13.8. Задачі на екстремальні значення.
13.9. Первісна. Невизначений інтеграл.
13.10. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
13.11. Криволінійна трапеція.
7. Комбінаторика.
Тема 14. Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
14.1. Комбінаторика: означення сполук.
14.2. Основні правила комбінаторики.
14.3. Перестановки, розміщення, комбінації.
14.4. Ймовірність: класичне означення ймовірності.
14.5. Елементи математичної статистики: основні статистичні характеристики та їх обчислення.
8. Геометрія. Планіметрія.
Тема 15. Метод координат.
15.1. Означення системи координат (на площині та у просторі), формули відстані між двома точками, ділення відрізка у заданому відношенні.
Тема 16. Вектори.
16.1. Означення геометричного вектора, способи задання.
16.2. Взаємне розташування векторів. Координати вектора.
16.3. Дії з векторами: множення на число, додавання.
16.4. Скалярний добуток.
16.5. Властивості та застосування скалярного добутку.
Тема 17. Пряма на площині.
17.1. Основні види рівнянь прямої на площині (загальне, з кутовим коефіцієнтом).
17.2. Відстань від точки до прямої.
17.3. Кут між прямими.
17.4. Взаємне розташування прямих на площині - умови перетину, паралельності, перпендикулярності.
9. Геометрія. Планіметрія. Стереометрія.
Тема 18. Планіметрія.
18.1. Трикутник: основні елементи, властивості і формули.
18.2. Основні теореми.
18.3. Чотирикутники.
18.4. Коло і круг.
Тема 19. Стереометрія.
19.1. Пряма і площина у просторі.
19.2. Аксіоми, теореми та основні ознаки стереометрії.
19.3. Багатогранники.
19.4. Призма та піраміда.
19.5. Тіла обертання:  циліндр, конус, куля.

                                          Поради учням

             Способи порівняння чисел

Одним із завдань зовнішнього незалежного оцінювання з математики є

оцінка вміння порівнювати дійсні числа, які подані в різних формах. Для

цього потрібно розташувати числа на координатній прямій. Це легко

зробити, якщо число подано у вигляді десяткового дробу, але значно

складніше, якщо ми маємо числовий вираз, який містить знак кореня. Під час

зовнішнього незалежного оцінювання абітурієнтам забороняється

використовувати калькулятори. Але є інший спосіб, за допомогою якого

можна це зробити.

Як, наприклад, строго записати те, що число π приблизно дорівнює

3,1415926? Це можна зробити за допомогою нерівностей:

3 < π < 4

3,1 < π < 3,2

3,14 < π < 3,15

3,141 < π < 3,142

3,1415 < π < 3,1416

3,14159 < π < 3,14160

3,141592 < π < 3,141593

3,1415926< π < 3,1415927

Аналогічно можна представити 2 , 3 та інші числові вирази, які містять

знак кореня.

Як порівняти числа, які мають складний вигляд? Наприклад 3 2 2 і 34 .

Зведенням у квадрат починаємо прибирати радикали, знак між числами не

ставимо (замінюємо його зірочкою), бо невідомо, яке з них більше:

3 2 2 * 34

(3 2 2 )2 * 34

9  232 2  8 * 34

17 12 2 * 34

12 2 * 17

( 12 2 )2 * (17)2

288 < 289.

Тому 3 2 2 < 34 .

Але, якщо ліворуч і праворуч знаходяться від’ємні числа, зводити в

квадрат не можна, бо не буде еквівалентності. Тоді нерівність потрібно

помножити на -1 та змінити знак. Якщо операція множення на -1

повторюється декілька разів, знак теж змінюється стільки ж разів і це

потрібно враховувати.

Наприклад:

2

1 5 *  3

1 5 *  2 3  1

1 5 * 2 3

1 52 * 2 32

1 2 5  5 * 12

2 5 * 6

2 52 * 62

20 * 36

20 < 36, але знак нерівності змінювався один раз, тому з урахуванням цього:

2

1 5 >  3 .

Але теж саме можна зробити другим способом. Щоб не рахувати, скільки

разів повторювалася операція множення на -1, і змінювався знак нерівності,

зручніше зробити наступне : від’ємні числа зліва і справа поміняти місцями,

тоді знак нерівності не зміниться:

2

1 5 *  3

3 *

2

1 5

2 3 * 1 5

2 32 * 1 52

12 * 1 2 5  5

6 * 2 5

62 * 2 52

36 * 20

36 > 20, тоді

2

1 5 >  3 .

Наведемо приклади тестових завдань, які можна розв’язати з використанням

цього способу:

1. Серед чисел a  5  2 , b  2 3  3 2 , c  3 3 3 2 укажіть усі додатні.

А Б В Г Д

a c a; b a; c a; b; c

2. Укажіть правильну нерівність, якщо a  5 2 , b  7 , c  51 .

А Б В Г Д

b < a < c a < b < c c < a < b a < c < b b < c < a

3. Порівняйте числа: 4; 2 5 ; 17 .

А Б В Г Д

2 5 < 4 < 17 4 < 17 < 2 5 17 <2 5 <4 4 <2 5 < 17 2 5 < 17 <4

Оцінка можливого значення квадратного кореня

В тестових завданнях інколи (наприклад, під час розв’язання квадратного

рівняння) виникає необхідність швидкого обчислення квадратного кореня з

відносно невеликого числа (3- або, рідше, 4-цифрового). У більшості

випадків корінь є цілим числом, яке можна знайти досить швидко і, звісно,

без використання калькулятора. Що для цього треба зробити?

Спочатку нагадаємо, що числа, які закінчуються на «0» та «5», досить легко

підносити до квадрата.

70 4900;

30 900;

2

2





(Підносимо до квадрата число без цифри «0» і дописуємо до результату

«00»)

85 7225;

35 1225;

2

2





(Число без цифри «5» помножуємо на наступне натуральне число і

дописуємо до результату «25». У нашому випадку:

3∙4 = 12,

352 = 1225;

8∙9 = 72,

852 = 7225.

Тепер перейдемо до нашої основної задачі – знаходження кореня з даного

нам числа. Розглянемо цей процес на прикладі числа 1849.

1. Дізнаємося, чи може дане число взагалі бути повним квадратом.

Для цього треба лише пам’ятати (або швидко підрахувати), що квадрати

цілих чисел можуть закінчуватися лише на одну з наступних цифр: 0, 1, 4, 5,

6, 9. Тобто, якщо число закінчується на 2, 3, 7 або 8, воно точно не є повним

квадратом.

В нашому випадку: число 1849 закінчується цифрою «9», тому може бути

повним квадратом.

2. Оцінимо число зверху і знизу відомими повними квадратами.

Простіше за все оцінювати повними квадратами, які можна швидко знайти, –

квадратами чисел, що закінчуються на «0» та «5».

Число 1849 більше за 1600, що є квадратом числа 40, але менше за число

2025, яке є квадратом числа 45.

1600 1849  2025;

402 1849  452.

Тому

40  1849  45.

3. За останньою цифрою даного числа знайдемо останню цифру

його кореня (у припущенні, що цей корінь є цілим числом).

Остання цифра

числа

Остання цифра

його кореня

Остання цифра

числа

Остання цифра

його кореня

0 0 5 5

1 1 4 9 6 6

4 2 3 8 9 7

У нашому випадку: остання цифра числа 1849 – «9», тому остання цифра

його кореня може бути або «3», або «7» (тільки вони в квадраті дають числа,

що закінчуються на «9»).

Оскільки шуканий корінь знаходиться в проміжку від 40 до 45, то єдиним

можливим варіантом стає число 43.

4. Обов’язково перевіряємо наше припущення множенням.

Оскільки ми всюди виходили з припущення, що дане число є повним

квадратом, у нас немає гарантії того, що так воно і є.

У нашому випадку: якщо число 1849 є повним квадратом, то тільки числа 43.

Піднесенням числа 43 до квадрата ми переконуємося в тому, що знайшли

вірну відповідь.

Отже, 1849  43.

Описаний метод працює і для більших чисел. Знайдемо, наприклад, 11664 .

1. Остання цифра даного числа – «4». Отже, число 11664 може бути

повним квадратом.

2. 1102  12100;

105 11664 110.

105 11664 110 ;

11025 11664 12100;

105 11025;

2 2

2

 

 

 



3. Число 11664 закінчується на «4», тому 11664 може закінчуватися на

«2» або «8». В проміжку від 105 до 110 цій умові задовольняє тільки число

108.

4. Перевіримо множенням. Дійсно, 1082 = 11664.

Отже, 11664 108.

637

Метод добування квадратного кореня «вручну»

(без допомоги калькулятора)

У ході розв’язування деяких математичних задач доводиться проводити

операції з квадратними коренями. Одразу ж виникає спокуса дістати

калькулятор і натиснути на клавішу добування квадратного кореня. Але є

метод, який дозволяє зробити цю операцію «вручну».

Для початку візьмемо ціле число, наприклад 223729. Зробимо наступне:

1) розіб’ємо число cправа наліво на розряди по дві цифри у розряді за

допомогою штрихів: 223729 → 22'37'29'. Якщо число має непарну кількість

цифр, додаємо нуль до першої цифри зліва. Наприклад:

4765983 → 04'76'59'83';

2) внесемо число під знак радикала: 22'37'29'→ 22'37'29' = ...

Почнемо обчислювати корінь, обробляючи кожен розряд покроково зліва

направо, отримуємо по одній цифрі результату.

Крок 1 – добування квадратного кореня з недостачею з першого розряду:

22  4 (з недостачею),

оскільки 42 16 , а 52  25 .

Підсумком кроку 1 є перша цифра шуканого числа:

22'37'29' = 4…

Крок 2 – першу отриману цифру підносимо до квадрата, записуємо під

першим розрядом, ставимо знак мінус і віднімаємо:

_ 22'37'29' = 4…

16

6

Крок 3 – дописуємо праворуч до результату віднімання дві цифри

наступного розряду і ліворуч від отриманого числа ставимо вертикальну

риску:

_ 22'37'29' = 4…

16

637

Потім цифри, які знаходяться після знака = , множимо на 2 і дописуємо

ліворуч від вертикальної риски. Поруч з отриманим числом залишаємо вільні

місця, на яких ставимо зірочки :

_ 22'37'29' = 4…

16

8 *

*

637

637

Зірочка позначає пошук цифри, яка буде другою в шуканому числі. Замість

зірочки необхідно підібрати дві однакові цифри таким чином, щоб результат

добутку був не більше ніж 637. У нашому випадку це цифра 7, бо

87∙7 = 609<637, але 88 ∙8 = 704 > 637. Тому:

_ 22'37'29' = 47...

16

8 7

7 609

Підведемо горизонтальну риску і під нею запишемо результат віднімання:

637 – 609 = 28. Далі повторюємо крок 3:

_ 22'37'29' = 473

16

8 7

7 609

943 2829

3 2829

0

Результат отриманий без остачі. Якщо в результаті отримуємо остачу, тоді

після знайдених цифр ставимо кому, записуємо замість наступного розряду

два нулі і продовжуємо добувати корінь з потрібною точністю. Наприклад:

_ 17 = 4,123…

16

8 1 100

1 81

822 1900

2 1644

8243 25600

3 24729

871…

Таким чином, ми маємо метод, за допомогою якого можна обчислювати

квадратні корені без допомоги калькулятора.__

 
                                     

Тести ЗНО онлайн з предмета «Математика» (перейти на посилання)

https://zno.osvita.ua/mathematics/