Розвиток критичного мислення на уроках математики в системі
уроків «Арифметична та геометрична прогресії» в 9 класі.Сучасній людині необхідно вміти не тільки опановувати інформацію, але й критично її оцінювати, осмислювати, застосовувати. І тому у своїй практичній діяльності я застосовую елементи технології розвитку критичного мислення на уроках математики.
Для стимулювання критичного мислення мені як вчителю необхідно: дозволити учням вільно розмірковувати; приймати різноманітні ідеї та думки; активно залучати учнів до процесу навчання; забезпечити для учнів середовище, вільне від насмішок; цінувати критичні міркування учнів. Критичне мислення формується поступово, воно є результатом щоденної кропіткої роботи вчителя й учня.
Працюючи над розвитком критичного мислення на своїх уроках намагаюся створити такі умови для розвитку особистості, за яких розкриваються унікальні здібності властиві кожній дитині. Прагну, щоб учні стали повноправними громадянами, готовими до всіх труднощів дорослого життя, щоб вони не лише виживали в цьому світі, а й стали щасливими, успішними.
Мені імпонує критичне мислення, але воно вимагає часу, уваги та мети. На своїх уроках на кожну відповідь учня, ставить питання чому ....? Припустимо, що…? Що буде якщо ...? У чому різниця…? Чому ви вважаєте ....? Чи згодні ви…? Чи вірно ...? Як ця інформація відповідає тому, що ви вже знаєте? і т.д. В системі уроків з алгебри в 9 класі «Арифметична та геометрична прогресії» висвітлено всю структуру розвитку критичного мислення: розминка, обгрунтування навчання, актуалізація, усвідомлення змісту, рефлексія.
Урок 1.
Тема. Числові послідовності. Властивості числових послідовностей
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту понять: числова послідовність, n-й член числової послідовності, формула п-го члена; списку способів задання числової послідовності. Виробити вміння: відтворювати вивчені означення; знаходити члени послідовності із заданими номерами, якщо послідовності задані різними способами. Повторити означення числової функції, а також супутні поняття.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект.
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
На уроці розбираються найскладніші питання контрольної роботи, які учні не могли опрацювати вдома.
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
На цьому етапі уроку я наводжу якомога більше числових послідовностей, з якими учні можуть зустрічатися в повсякденному житті, а також при вивченні основ наук. Таким чином учнів підготовляю до сприйняття думки про те, що предметом вивчення математики є не тільки вирази, рівняння, нерівності тощо; математика вивчає також результати спостережень за реальними фізичними, хімічними процесами, кліматичними явищами, які виражаються у вигляді рядів чисел, кожне з яких стоїть у цьому записі на строго визначеному місці. Після цього формулюю завдання: вивчити питання про ці «ряди чисел», а також можливості подальшого застосування цих понять на практиці. Формулюю основну дидактичну мету уроку.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи
1. Знайдіть значення виразу:
1) -2,6 + 0,5; 2) -2,1 : (-0,01); 3) (0,45)4 : 0,418;
2. Спростити: 1) (4b + 1) – (3 – b); 2) (2x – 1)(х – 2); 3) а5 ∙ а12 : а16; 4) 3x2y5 ∙ (-x3y2).3. Знайдіть значення виразу:
1) х + 10у при х = 1,5, у = -2; 2) 2x2 + 1 при х = -4; 3) х2 + 6х – 2 при х = 3.
V. Формування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Означення числової послідовності. Поняття члена послідовності.
2. Види числових послідовностей:
1) залежно від кількості її членів;
2) залежно від тенденції її членів (зростаюча, спадна, така, що не є зростаючою або спадною).
3. Способи задання числових послідовностей:
1) переліком її членів;
2) описом її членів;
3) таблицею;
4) формулою (n-го члена);
5) рекурентною формулою.
Опорний конспект:
|
Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших n натуральних чисел. |
|||||||
|
Числова послідовність позначається так: (аn): а1; а2; а3; ...; аn. Кожне число аn — n-й член послідовності; n — номер члена. |
|||||||
|
Види числових послідовностей |
|||||||
|
1. Якщо кількість членів п послідовності (аn) скінченна, то (аn) — скінченна 2. послідовність. Якщо кількість членів п послідовності (аn) нескінченна, то (аn) — нескінченна послідовність. Приклади: а) послідовність (аn) натуральних чисел нескінченна; б) послідовність (аn) коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х + 3) = 0 скінченна. |
|||||||
|
3. Якщо кожний наступний член послідовності, починаючи з другого, більший за 4. попередній, то послідовність є зростаючою. Якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, менший від попереднього, то послідовність є спадною. |
|||||||
|
Приклади: а) (аn): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою; б) (bn): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною. |
|||||||
|
Способи задання числових послідовностей: 1) описом знаходження її членів. Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, записаних у порядку зростання: (ап): а1= 1; а2 = 3; а3 = 5; ...; а4 = 15; |
|||||||
|
2) переліком її членів. Приклад. (bn): 54; 1; 33; 27, тоді а1 = 54; а2 = 1; а3 = 33; а4 = 27; |
|||||||
|
3) таблицею. Приклад. |
|||||||
|
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
Аn |
-2 |
1 |
-4 |
1 |
-6 |
||
|
|
|||||||
|
Тоді а1 = -2; а2 = 1; а3 = - 4; а4 = 1; а5 = 6; |
|||||||
|
4) формулою n-го члена. Приклад. аn = n2 – 1, тоді а1 = 12 – 1 = 0; а2 = 22 – 1 = 3; а3 = 32 – 1 = 8 і т.д.; |
|||||||
|
5) рекурентною формулою. Приклад. аn = аn-1 ∙ аn-2, якщо а1 = 1; а2 = 2, тоді а1 = 1; а2 = 2; а3 = а1 ∙ а2 = 2; а4 = а2 ∙ а3 = 2 ∙ 2 = 4; а5 = а3 ∙ а4 = 4 ∙ 2 = 8. |
|||||||
Матеріал цього уроку є допоміжним для вивчення матеріалу наступних уроків, тому розглядається лише в обсязі, необхідному для вивчення арифметичної та геометричної прогресій. Учні мають на прикладах числових послідовностей засвоїти необхідну для подальшого вивчення матеріалу термінологію: послідовність, член послідовності, номер члена послідовності, формула п-го члена послідовності, рекурентна формула.
VI. Формування вмінь
Усні вправи
1. Дано послідовність: 0,1; 7; 0,2; 8; 0,3; 9. Укажіть:
1) скільки членів має ця послідовність;
2) третій член послідовності;
3) який номер має член послідовності, що дорівнює 0,3;
4) який член послідовності є наступним за числом 8; попереднім до числа 7.
2. Послідовність (хn) задано формулою хn = n + 5. Укажіть перші три члени цієї послідовності. Чи є ця послідовність зростаючою? нескінченною?
Письмові вправи
Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:
1) для послідовності записати номер члена, що передує члену із заданим номером; є наступним за членом із заданим номером;
2) знайти перші кілька членів послідовності, заданої: а) описом; б) формулою n-го члена; в) рекурентно;
3) скласти формулу п-го члена для послідовності, заданої описом або переліком її членів;
4) знайти номер члена послідовності (чи є дане число членом послідовності), заданої формулою n-го члена.
VII. Підсумки уроку
Контрольні запитання
1. Наведіть приклади числових послідовностей.
2. Наведіть приклад числової послідовності: 1) скінченної; 2) нескінченної.
3. Наведіть приклад послідовності, заданої формулою n-го члена. Назвіть який-небудь член цієї послідовності.
4. Наведіть приклад послідовності, заданої рекурентною формулою.
VIII. Домашнє завдання
1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці (див. опорний конспект).
2. Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці (п 15, №15.8, 15.10).
3. Повторити перетворення раціональних виразів.
Рефлексія
• На сьогоднішньому уроці ми дізналися …
• Сьогодні на уроці мені сподобалося …
• Сьогодні на уроці мені було важко …
• На сьогоднішньому уроці я навчився …
УРОК № 2
Тема. Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення арифметичної прогресії, відповідної термінології (різниця арифметичної прогресії); рекурентної формули; вивести формулу різниці арифметичної прогресії та п-го члена арифметичної прогресії та формувати навички застосовувати їх до розв’язування задач.
Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення арифметичної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули арифметичної прогресії, а також використання її властивостей.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: підручник (Алгебра для 9-го класу авторів А. Г. Мерзляк, В. Б. Полянський, М. С. Якір (2016)), конспект уроку.
Найвище призначення математики полягає в тому,
щоб знаходити порядок у хаосі, який нас оточує.
Норберт Вінер
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання № 15.10(1,3) 2учні виконують на дошці. Додаткові питання:
1. Як називається розділ що ми вивчаємо?
2. Які послідовності бувають? (скінченні і нескінченні)
3. Які способи задання послідовності ви знаєте? (описом, таблицею, переліком, формулою n-го члена, рекурентною формулою)
4. Що означає n в послідовності? (номер члена)
5 Яка послідовність називається нескінченною? скінченною? (яка має нескінченну кількість членів)
6. Як позначається послідовність? (аn: а1,а2,а3,…аn,…)
7. Як записати попередній і наступний члени послідовності?
III. Формулювання мети і завдань уроку.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Дано скінченну послідовність: (хn): 3; 0; -3; -6; -9; -12. Укажіть:
1) перший, третій, шостий члени цієї послідовності;
2) чи є ця послідовність зростаючою, спадною;
3) формулу її n-го члена.
2. Послідовність (аn) задана формулою аn = 3n – 1. Укажіть:
1) а1, а2, а3;
2) номер члена, який дорівнює 26;
3) чи є членом цієї послідовності число 47; 58?
3. Розв'яжіть рівняння: 1) х2 – 3х = 0; 2) х2 – 2х +1 = 0;
3) х2 – 3х – 4 = 0;
V. Формування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Означення арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії.
2. Рекурентна формула арифметичної прогресії.
3. Властивості арифметичної прогресії:
1) характеристична властивість арифметичної прогресії;
2) сума членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців;
3)* теорема про задання арифметичної прогресії формулою an = kn + b, де k, b — деякі числа.
Опорний конспект
|
|
Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії. |
|
|
|
Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія. 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної прогресії. |
|
|
|
Рекурентна формула арифметичної прогресії |
|
|
|
аn+1 = аn + d, d — різниця арифметичної прогресії. d = an+1 – аn. |
|
|
|
|
|
|
Властивості арифметичної прогресії |
||
|
1. аn — n-й член арифметичної прогресії, є середнім арифметичним двох сусідніх за ним членів. |
||
|
2. Якщо (аn) — арифметична прогресія (скінченна), то: |
||
|
|
||
|
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. |
||
|
3. Теорема*. Будь-яка арифметична прогресія (аn) може бути задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа; і навпаки, якщо послідовність (аn) задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією. |
||
VI. Формування вмінь Усні вправи:
1. Знайдіть
третій член і різницю арифметичної прогресії:
1) 2; 7; 12; ...; 2) 6; 5,5; 5; ...;
3) 0,7; 1; 1,3; ...; 4) -9; -7; -5; ... .
2. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (аn), у якої:
1) a1 = 5, d = 2; 2) a1 = 7, d = -2.
3. Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії:
1) 7; 11; 15; ...; 2) 13; 10; 7; ... .
4. Знайдіть пропущений член арифметичної прогресії:
1) 1; а2; 7; а4; ...; 2) a1; 5; 3; ... .
Письмові вправи: № 16.2, 16.3, 16.7, 16.10, 16.13, 16.31.
VII. Підсумки уроку Контрольні запитання
1. Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади.
2. Як знайти різницю арифметичної прогресії?
3. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.
VIII. Домашнє завдання §16, № 16.4, 16.9, 16.11, 16.18.
VIII. Рефлексія
• На сьогоднішньому уроці ми дізналися …
• Сьогодні на уроці мені сподобалося …
• Сьогодні на уроці мені було важко …
• На сьогоднішньому уроці я навчився …
УРОК № 3
Тема. Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії
Мета уроку: закріпити знання учнів про зміст означення та супутніх понять арифметичної прогресії, а також про її основні властивості. Доповнити ці знання знанням формули n-го члена арифметичної прогресії. Закріпити вміння: вирізняти арифметичну прогресію серед числових послідовностей, відшукувати різницю арифметичної прогресії, перші члени арифметичної прогресії, а також використовувати властивості арифметичної прогресії. Сформувати вміння записувати формулу n-го члена арифметичної прогресії, а також розв'язувати різні за змістом задачі на використання цієї формули.
Тип уроку: доповнення і закріплення знань, відпрацювання вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: підручник (Алгебра для 9-го класу авторів А. Г. Мерзляк, В. Б. Полянський, М. С. Якір (2016)), конспект уроку.
Хід уроку
І. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Виконання тестових завдань (див. нижче) з наступною перевіркою та обговоренням результатів їх виконання, що дозволить повторити зміст основних понять попереднього уроку, а також схеми застосування вивчених на цьому уроці понять для розв'язування типових задач. Тестові завдання
1. Яка з наведених послідовностей є
арифметичною прогресією?
а) 1; 3; 5;
8; б)
10; 7; 4; 1; в) 2; 6; 11; 15; г) 4; -5; 6; -7.
2. Перший член арифметичної прогресії дорівнює -3, а різниця 2. Чому дорівнює другий член цієї прогресії?
а) 7; б) 9; в) -1; г) 5.
3. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (аn), якщо а2 = 3, а3 = -3.
а) -2; б) -6; в) 2; г) 6.
4. Чому дорівнює різниця арифметичної прогресії (аn), якщо а2 = 4, а4 = 28.
а) -12; б) 12; в) 4; г) .
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Для усвідомлення учнями необхідності вивчення формули п-го члена арифметичної прогресії та подальшого її застосування можна запропонувати їм виконати таку вправу: знаючи перший член та різницю арифметичної прогресії, знайти її деякий член (номер якого є достатньо великим). Усвідомивши нераціональність розв'язування задачі відомим учням способом (через застосування рекурентної формули), вони приходять до запитання: чи не існує способу знаходження будь-якого члена арифметичної прогресії без необхідності знаходити попередні кілька її членів? Пошук відповіді на це запитання — основна мета уроку.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи
1. Дана скінченна послідовність: 2; -1; -4; -7; -10; -13.
1) Перевірте, чи є ця послідовність арифметичною прогресією.
2) Назвіть її перший член та різницю.
3) Задайте її рекурентною формулою.
4) Продовжіть її ще трьома числами, які разом із даними утворювали б арифметичну прогресію.
2. Яка з даних послідовностей (хп) є арифметичною прогресію:
1) хn = 2n + 5;
2) хn = 3n2 + 6n;
3) хn = ?
Для арифметичної прогресії знайдіть перші три члени та різницю.
V. Доповнення знань План вивчення нового матеріалу
1. Формула n-го члена арифметичної прогресії.
2. Приклади застосування виведеної формули.
Опорний конспект
|
Формула n-го члена арифметичної прогресії |
|
де an — n-й член арифметичної прогресії; а1 — перший член арифметичної прогресії; d — різниця арифметичної прогресії; n — номер члена арифметичної прогресії. |
|
Приклад. Знайдемо а9, якщо (аn) — арифметична прогресія, перші члени якої: 7,8; 8,9; 10; .... Розв'язання Знайдемо різницю арифметичної прогресії, у якої а1 = 7,8; a2 = 8,9; a3 = 10: d = a3 – a2 = 10 – 8,9 = 1,1. Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд an = a1 + d(n – 1). Враховуючи, що а1 = 7,8, d = 1,1, маємо: аn = 7,8 + 1,1(n – 1). Отже, а9 = 7,8 + 1,1(9 – 1) = 7,8 + 8,8 = 16,6. Відповідь: а9 = 16,6. |
Єдиний новий момент, який додається до вивчених на попередньому уроці означення та властивостей арифметичної прогресії,— це формула п-го члена арифметичної прогресії, яка виводиться через означення і сама надалі буде основою для виведення формули суми п перших членів арифметичної прогресії. Як процес отримання цієї формули, так і способи застосування її для розв'язування задач, а також ситуації, у яких ця формула «працює», не змінилися в порівнянні з попередніми роками.
VI. Відпрацювання вмінь Усні вправи
1. Знайдіть а1 і d за формулою п-го члена арифметичної прогресії (аn):
1) аn = 1 + 3(n – 1); 2) аn = 0,1 – 3(n – 1).
2. Запишіть формулу першого члена арифметичної прогресії, у якої:
1) а1 = 2; d = -3; 2) а1 = 0,5; d = ; 3) а1 = -0,2; d = -2.
3. Для деякої арифметичної прогресії запишіть формулу її 10-го члена; 21 члена; n + 1 члена.
Письмові вправи: № 16.15, 16.17, 16.21, 16.23.
VI. Підсумки уроку Контрольні запитання
1. Який вигляд має формула п-го члена для арифметичної прогресії, у якої: 1) bn членів; 2) хn членів.
2. Відомо, що (аn) — арифметична прогресія. Заповніть пропуски так, щоб рівності стали правильними:
1) an =... + d ...; 2) d = ; 3) а1 = ап – ...(n – 1); 4) n = 1 + .
VII. Домашнє завдання п.16, № 16.22, 15.24, 16.26.
VIII. Рефлексія
• На сьогоднішньому уроці ми дізналися …
• Сьогодні на уроці мені сподобалося …
• Сьогодні на уроці мені було важко …
• На сьогоднішньому уроці я навчився …
УРОК № 4
Тема. Сума перших n членів арифметичної прогресії
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями формул суми перших n членів арифметичної прогресії через перший і n-й члени та через перший член і різницю арифметичної прогресії. Виробити вміння: записувати вивчені формули залежно від умови задач, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають обчислення суми перших п членів арифметичної прогресії.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашньої самостійної роботи).
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання Самостійна робота
Варіант 1
Розв'яжіть задачі.
1. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 1,2, d = -0,1.
2. Знайдіть різницю і сотий член арифметичної прогресії (аn): 2,7; 3,1; 3,5; ... .
3. Між числами -4 і 5 вставте п'ять таких чисел, щоб вони разом із даними числами утворювали арифметичну прогресію.
4. Дана арифметична прогресія: 2; 1,8; 1,6; ... . Знайдіть її найбільший від'ємний член.
Варіант 2
Розв'яжіть задачі.
1. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (аn), якщо a1 = -1,2, d = 0,3.
2. Знайдіть різницю і сотий член арифметичної прогресії (аn): 5,4; 4,8; 4,2; ... .
3. Між числами -3 і 11 вставте шість таких чисел, щоб вони разом із даними числами утворювали арифметичну прогресію.
4. Дана арифметична прогресія: -3,6; -3,3; -3; ... . Знайдіть її найменший додатний член.
III. Формулювання мети і завдань уроку
Мотивація навчальної діяльності учнів
Для усвідомлення учнями необхідності вивчення питання про формулу суми перших n членів арифметичної прогресії запропоную їм одну із цікавих задач на обчислення такої суми (наприклад, широко відома задача на обчислення суми перших 100 натуральних чисел). Під час обговорення умови задачі учні приходять до усвідомлення того, що мовою математики умова задачі звучить так: «Знайти суму перших 100 членів арифметичної прогресії». Розглянувши приклади інших задач цього виду, формулюється узагальнена умова задачі: «Як знайти суму перших кількох членів арифметичної прогресії»; після цього формулюється мета: вивести формулу для обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії; виробити вміння її застосовувати при розв'язуванні задач.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Назвіть перший член і різницю арифметичної прогресії, що задана формулою bn = 115n – 4. Запишіть формулу n-го члена цієї арифметичної прогресії.
2. Відомо, що в скінченній арифметичній прогресії сума першого й останнього членів дорівнює 10. Чому дорівнює сума другого і передостаннього членів?
3. Знайдіть:
1) значення функції, що задана формулою у = 4х – 3, для всіх цілих значень змінної х з проміжку (2; 5];
2) значення аргументу, при яких значення функції у = х2 – 5 дорівнює 0; 4; -5.
V. Формування знань План вивчення нового матеріалу
1. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії через перший і n-й члени.
2. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії через перший член і різницю арифметичної прогресії.
3. Приклади розв'язування задач.
Опорний конспект
|
Сума перших п членів арифметичної прогресії |
|
1. Якщо a1 і an — перший і n-й члени арифметичної прогресії (аn), 2. то сума Sn перших п членів цієї прогресії дорівнює: Sn=(а1+аn)/2*n |
|
3. Якщо a1 і d — перший член і різниця арифметичної прогресії (аn), 4. то сума Sn перших п її членів дорівнює: |
|
Приклад. Знайдемо суму перших десяти членів арифметичної прогресії (аn), у якої: 1) a1 = 10, аn = -10; 2) а1 = 2, d = -3. Розв'язання |
|
1) S10 = (10 - 10) ∙ 10 = 0; |
|
2) S10 = (2a1 + 9d) ∙ 5 = (2 ∙ 2 + 9 ∙ (-3)) ∙ 5 = = (4 – 27) ∙ 5 = -23 ∙ 5 = -115. Відповідь: 1) 0; 2) -115. |
VI. Формування вмінь Усні вправи
1. Задана скінченна послідовність: (аn): 2; -1; 5; -2; 9; -3; 15; -4. Знайдіть суму:
1) перших двох її членів; 2) перших п'яти її членів; 3) усіх її членів.
2. Знайдіть суму перших тридцяти членів арифметичної прогресії (хn), у якої х1 = 5, х30 = 15.
3. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії (уn), у якої y1 = 5,
d = 4 заповнивши пропуски у формулі 
.
Письмові вправи
Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:
1) за однією з вивчених формул знайти (обчислити) суму перших п членів арифметичної прогресії;
2) розв'язати задачі, що передбачають пряме застосування вивчених формул (в умові задач напряму не сказано, що шукана сума є сумою арифметичної прогресії), наприклад, знайти суму перших 50 натуральних чисел або знайти суму парних натуральних чисел від 0, не більших за 100, і т. д.;
3) задачі на застосування вивчених формул для відшукання невідомих першого члена, або різниці, або кількості n членів арифметичної прогресії за відомою за умовою сумою її перших членів;
4) на повторення: задачі на застосування вивчених властивостей і формул арифметичної прогресії.
VII. Підсумки уроку Контрольні запитання
1. За якою формулою можна обчислити суму перших ста членів арифметичної прогресії, якщо відомі:
1) а1 і а100; 2) а1 і d; 3) а1 і а2?
2. Чи можна за формулою 
обчислити суму перших десяти членів послідовності:
1) (аn): 2; 3; 4; 5; 6; ...;2) (аn): 2; 4; 8; 16; 32; ...;3) (аn): n; 3n; 5n; 7n; 9n;
VIII. Домашнє завдання п 17, № 17.2, 17.4, 17.8, 17.10.
Рефлексія
• На сьогоднішньому уроці ми дізналися …
• Сьогодні на уроці мені сподобалося …
• Сьогодні на уроці мені було важко …
• На сьогоднішньому уроці я навчився …
УРОК № 5
Тема. Сума перших n членів арифметичної прогресії
Мета уроку: закріпити знання учнів про формули обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії, а також про її означення та властивості, вивчені на попередніх уроках; сформувати уявлення про спосіб розв'язування задач на відшукання суми послідовних членів арифметичної прогресії з n-го по т-й включно (n < m). Закріпити вміння: записувати вивчені формули відповідно до даних задачі, а також застосовувати їх як в стандартних ситуаціях (з використанням поняття суми перших n членів арифметичної прогресії), так і в нестандартних ситуаціях (для відшукання суми послідовних членів арифметичної прогресії з n-го по m-й включно, n < m.)
Тип уроку: доповнення знань, закріплення знань, відпрацювання вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект.
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Математичний диктант (див. нижче) з наступною перевіркою та обговоренням результатів його написання, під час яких повторюється зміст основних понять попереднього уроку, а також схеми застосування вивчених на цьому уроці понять для розв'язування типових задач. Математичний диктант
1. В арифметичній прогресії (аn) а1 = 1, d = 4. Знайдіть а10, S10.
2. Дано арифметичну прогресію (аn). Знайдіть:
1) n, якщо a1 = 5, an = 25, Sn = 150; 2) a1, якщо d = 2, n = 4, S4 = 10.
3. Виразіть із формули 
: 1) a1; 2) аn.
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Основна мета уроку формулюється після виконання запропонованої роботи на попередньому етапі уроку з урахуванням результатів її виконання: при великій кількості помилок та низькому рівні виконання роботи проводиться закріплення знань та вмінь, сформованих на попередньому уроці; якщо результати виконання роботи задовільні, то акцент переміщується на вдосконалення знань та вмінь, а отже, на вироблення певних умінь застосовувати набуті знання та вміння в нестандартних ситуаціях.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, у якої перший член 4, а другий 6.
2. Знайдіть третій член арифметичної прогресії, якщо її перший член 6, а другий 4.
3. Знайдіть десятий член арифметичної прогресії, якщо її перший член 1, а різниця 4.
4. Чи є послідовність парних натуральних чисел арифметичною прогресією?
5. Знайдіть суму перших п'яти членів арифметичної прогресії, якщо її перший член 5, а п'ятий 6.
6. Знайдіть суму перших п'яти членів арифметичної прогресії, якщо її перший член - 20, а різниця 10.
7. Скільки членів арифметичної прогресії стоїть перед 2-м, 5-м, 20-м, п-м членом цієї прогресії?
V. Доповнення знань учнів
Опорний конспект
|
Щоб знайти суму з n-го по m-й член включно (n < m) деякої арифметичної прогресії (аn), можна: |
|
1) скористатися формулою Sn-m = Sm – Sn-1, де Sn-m — сума членів арифметичної прогресії з n-го по m-й; Sm — сума перших т її членів; Sп-1 — сума перших (n – 1) її членів; |
|
2) знайти суму перших k членів арифметичної прогресії (bn), у якої b1 = an, bk = an, k = m – (n – 1). |
Методичний коментар
Єдиний новий момент, який додається до вивчених на попередньому уроці формул суми перших n членів арифметичної прогресії та способів їх застосування при розв'язуванні задач, — це використання вивчених формул при розв'язуванні задач на відшукання суми послідовних членів арифметичної прогресії з n-го по m-й включно (n < m). Формування уявлення про один зі способів розв'язування таких задач ґрунтується на означенні числової послідовності як функції, заданої на множині натуральних чисел, а також на відомих учням з 5 класу властивостях натурального ряду. Другий спосіб розв'язування таких задач оснований на властивості самої арифметичної прогресії: послідовні члени арифметичної прогресії, починаючи з будь-якого її члена, утворюють арифметичну прогресію. Цю властивість можна було розглянути на попередньому уроці при вивченні властивостей арифметичної прогресії (див. опорний конспект).
VI. Відпрацювання вмінь Письмові вправи № 17.13, 17.18, 17.21,17.26.
Зміст вправ та мета їх розв'язування такі самі, як і на попередньому уроці: закріплення формул, вивчених на цих уроках, а також вироблення оперативних умінь із застосування формул при розв'язуванні задач у різних ситуаціях (якщо дозволяють успіхи учнів, підвищується рівень складності задач за рахунок задач на застосування властивостей арифметичної прогресії).
VII. Підсумки уроку Контрольні запитання
Опишіть послідовність дій при розв'язуванні задачі (у задачах 1 – 6 (аn) — арифметична прогресія):
1) дано: а1, а2. Знайти d; 2) дано: а1, а2. Знайти а3;
3) дано: а1, d. Знайти а10; 4) дано: а1, а10. Знайти S10;
5) дано: al, d. Знайти S10; 6) дано: а1 і а2. Знайти суму з 4-го по 10-й члени включно.
VIII. Домашнє завдання п 17, № 17.14, 17.19, 17.22.
УРОК № 6
Тема. Геометрична прогресія
Мета уроку: формування компетентностей: предметної математичної (домогтися засвоєння означення, властивостей та формули n-го члена геометричної прогресії; сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають застосування означення, властивостей та формули n-го члена геометричної прогресії); ключових: уміння вчитися впродовж життя(самостійно добирати необхідну інформацію. працювати з підручником); соціальної (самореалізуватися до виконання завдань у парі); загальнокультурна (адаптуватися у мовному середовищі шляхом активної участі у спілкуванні). Розвивати вміння висувати гіпотези, порівнювати, робити висновки; виховувати культуру математичних записів,інтерес до математики, старанність, уміння співпрацюв Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення геометричної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули геометричної прогресії, а також використання її властивостей.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект.
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання Самостійна робота
Варіант 1 Знайдіть суму:
1) перших шістнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший і шістнадцятий члени відповідно дорівнюють 3 і -5;
2) перших шістнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 6, а різниця 3;
3) перших сорока семи членів арифметичної прогресії, яка задана формулою загального члена ап = 3n – 1;
4) членів арифметичної прогресії з 6-го по 23-й включно, якщо перший член дорівнює 28, а п'ятий дорівнює 16.
Варіант 2 Знайдіть суму:
1) перших вісімнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший і вісімнадцятий члени відповідно дорівнюють 3,8 і -5;
2) перших вісімнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2,4, а різниця -0,3;
3) перших тридцяти восьми членів арифметичної прогресії, яка задана формулою загального члена аn = -2n + 1;
4) членів арифметичної прогресії з 7-го по 26-й включно, якщо другий член дорівнює 37, а шостий дорівнює 29.
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Для усвідомлення учнями необхідності виділення та подальшого вивчення властивостей геометричної прогресії, винесених у тему уроку, можна запропонувати їм виконати вправу на порівняння або логічну вправу на виключення зайвого (наприклад, серед запропонованих послідовностей кілька є такими, що надалі можуть бути визначені як геометричні прогресії, а одна з них такою не є; або навпаки, серед кількох відомих учням арифметичних прогресій дати одну геометричну та, виділивши її як «зайву», проаналізувати відмінність цієї послідовності від геометричної прогресії).
Після виконання таких вправ учні усвідомлюють, що серед нескінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім виділених на попередніх уроках видів, можна виділити інші види. Від них відокремлюються послідовності, у яких кожний наступний член, на відміну від членів арифметичної прогресії, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число. Після такого умовиводу формулюється основна дидактична мета уроку: вивчити означення, дати назву та дослідити властивості таких послідовностей та їх застосування.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Знайдіть:
1) значення функції, заданої формулою у = 3х5 при х = 0; 1; -1;
2) при якому значенні аргументу значення функції у = х2 – 3х + 2 дорівнює 0; 2; -2;
3) при яких значеннях аргументу значення функції у = 1-2х додатні; від'ємні.
2. Спростіть вираз: 1) 
; 2) 
; 3) 3n-1 ∙ 3n.
3. Розв'яжіть рівняння: 1) b2 = 3; 2) x3 = 27; 3) q6 = .
4. Послідовність (хп) задана формулою хn = 81 ∙ 31-n.
Знайдіть: 1) х1, х2, х3;
2)
відношення 
, 
, 
.
V. Формування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Означення геометричної прогресії. Знаменник геометричної прогресії.
2. Рекурентна формула геометричної прогресії.
3. Властивості геометричної прогресії:
1) характеристична властивість;
2) добутки двох членів скінченної геометричної прогресії, рівно від-далених від її кінців.
Опорний конспект
|
Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії). |
|
Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3; а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї прогресії). |
|
Рекурентна формула геометричної прогресії |
|
Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп — n-й член; q — знаменник геометричної прогресії. З рекурентної формули випливає: |
|
Властивості геометричної прогресії: |
|
а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого: |
|
б) якщо (bn) — скінченна геометрична прогресія, то b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії). |
VI. Формування вмінь Усні вправи
1. За означенням перевірте, чи є геометричною прогресією послідовність:
а) степенів числа 2 з цілими додатними показниками — 1; 2; 4; 8; 16; ...;
б) кубів натуральних чисел — 1; 8; 27; 64; ... .
2. Укажіть перший член та знайдіть знаменник геометричної прогресії:
1) 1; -5; 25; ...; 2) -6; -6; -6;
...; 3) 9; 3; 1; ...; 4) 7; 
; 
; ...; 5) -3; 3; -3; ... .
3. Знайдіть другий і третій члени геометричної прогресії (bn), якщо:
1) b1 = 3, q = 2; 2) b1 = 5, q = -1.
Письмові вправи № 18.1, 18.2, 18.4,18.6,18.8, 18.13.
При розв'язуванні вправ, крім закріплення термінології та формул, що виражають властивості геометричної прогресії, проводиться відпрацювання схем дій у таких стандартних ситуаціях: перевірити, чи є задана послідовність геометричною прогресією (за означенням, або за характеристичною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); знайти знаменник геометричної прогресії, якщо відомі два сусідні її члени; знайти член, наступний за даним членом геометричної прогресії.
VII. Підсумки уроку
Контрольні запитання
1. Яка послідовність називається геометричною прогресією? Наведіть приклади.
2. Чому дорівнює відношення двох сусідніх членів геометричної прогресії, починаючи з другого?
3. Як задати геометричну прогресію?
VIII. Домашнє завдання п 18, № 18.3, 18.5, 18.7,18.14.
УРОК № 7
Тема. Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії
Мета уроку: закріпити знання учнів про зміст означення та супутніх понять геометричної прогресії, а також про її основні властивості. Доповнити ці знання знанням формули n-го члена геометричної прогресії. Закріпити вміння: вирізняти геометричну прогресію серед інших числових послідовностей, відшукувати знаменник геометричної прогресії, перші кілька членів геометричної прогресії, а також використовувати властивості геометричної прогресії. Сформувати вміння записувати формулу n-го члена геометричної прогресії, а також розв'язувати різні за змістом задачі на використання цієї формули.
Тип уроку: доповнення і закріплення знань, відпрацювання вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект.
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Виконання тестових завдань (див. нижче) з наступною перевіркою та обговоренням результатів їх виконання, під час яких повторюється зміст основних понять попереднього уроку, а також схеми застосування вивчених на цьому уроці понять для розв'язування типових задач. Тестові завдання
1. Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а) 2; 6; 18; 54; б) 80; 40; 20; 5; в) 4; 8; 32; 64; г) 2; -10; 50; 250.
2. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b5 = 
, b6 = .
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Дев'ятий член геометричної прогресії дорівнює 12, а знаменник дорівнює 3. Знайдіть десятий член геометричної прогресії.
а) 15; б) 36; в) 39; г) 108.
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Так само, як при вивченні питання про формулу п-го члена арифметичної прогресії, роботу на цьому етапі уроку організуємо як колективний пошук розв'язання задачі: як найраціональнішим способом знайти значення n-го члена геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник.
Усвідомивши нераціональність розв'язування задачі відомим учням способом (через застосування рекурентної формули), вони приходять до запитання: чи не існує способу знаходження будь-якого члена геометричної прогресії без необхідності знаходити попередні кілька її членів? Пошук відповіді на це запитання — основна мета уроку.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Чи є геометричною прогресією послідовність (хn):
1) 3; 3; 3; 3; 3; 2) 0; 0; 0; 0; 0; 3) 3; 6; 12; 24; 48.
2. Назвіть перший, третій та п'ятий члени послідовності, заданої формулою хn = 64 ∙ 21-n. Чи є вона геометричною прогресією? Чому дорівнює її знаменник?
3. Відомо, що числа а1; а2; а3; а4; а5 утворюють геометричну прогресію зі знаменником b. Чи буде геометричною прогресією послідовність:
1) 2a1; 2а2; 2а3; 2а4; 2а5;
2) а1; а3; а5?
Чому дорівнює знаменник кожної з цих прогресій?
V. Доповнення знань
План вивчення нового матеріалу
1. Формула n-го члена геометричної прогресії.
2. Приклади застосування виведеної формули.
Опорний конспект
|
Формула n-го члена геометричної прогресії |
|
Якщо (bn) — геометрична прогресія, то bn=bl – qn-1, де b1 — перший член геометричної прогресії; q — знаменник геометричної прогресії. |
|
Приклад 1. Знайдемо шостий член геометричної прогресії (b1): ; 1; 5; ... . Розв'язання b1 = ; q = Відповідь: 625. |
|
Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bn), якщо b7 = 32; q = -2. Розв'язання b7 = b1 ∙ q6 Відповідь: . |
|
Приклад 3. Знайдемо знаменник геометричної прогресії (bn), у якої b7 = -12, b9 = -108. Розв'язання b9 = b1 ∙ q8; b7 = b1∙ q6 Відповідь: 3 або -3. |
VI. Відпрацювання вмінь Письмові вправи: № 18.23, 18.25, 18.27,18.29.
Зміст вправ та мета їх розв'язування такі самі, як і на попередньому уроці: закріплення означення та формули, вивчених на цих уроках, а також вироблення оперативних умінь із застосування формул при розв'язуванні задач у різних ситуаціях (якщо дозволяють успіхи учнів, підвищується рівень складності задач за рахунок задач на застосування властивостей геометричної прогресії). Серед задач уроку досить важливе місце мають посідати здачі на складання систем рівнянь вищих степенів (якщо дозволяє рівень математичної підготовки учнів), а також задачі на застосування характеристичної властивості геометричної прогресії.
VII. Підсумки уроку Контрольні запитання
1. Як знайти знаменник геометричної прогресії, якщо відомі її перший і другий члени?
2. Як знайти третій член геометричної прогресії, якщо відомі її перший і другий члени?
3. Як знайти шостий член геометричної прогресії, якщо відомі її перший член і знаменник?
VIII. Домашнє завдання п 18., № 18.24, 18.26, 18.28,18.30.
2. Виконати самостійну роботу (див. нижче) за варіантом, указаним учителем.
Самостійна робота
Варіант 1
Розв'яжіть задачу.
1. Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bп), якщо b1 = -2, q = -3.
2. Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії 
; 
, , ... .
3. Між числами 16 і 81 вставте три таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.
4. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b10 = 9b8, b3 + b6 = 168, (q > 0).
Варіант 2
Розв'яжіть задачу.
1. Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 25, q = -0,2.
2. Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії -72; 12; -2; ... .
3. Між числами 64 і 27 вставте два таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.
4. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b10 = 25b8, b2 + b4 = -520 (q > 0).
УРОК № 8
Тема. Сума перших n членів геометричної прогресії
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями формул для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії. Закріпити вивчені означення, властивості та формули для геометричної прогресії. Виробити вміння: записувати вивчені формули відповідно до умов задач та використовувати ці записи для розв'язування задач.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашньої самостійної роботи).
Хід уроку
I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання Самостійна робота
Варіант 1 Розв'яжіть задачу.
1. Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bп), якщо b1 = -2, q = -3.
2. Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії ; , , ... .
3. Між числами 16 і 81 вставте три таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.
4. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b10 = 9b8, b3 + b6 = 168, (q > 0).
Варіант 2 Розв'яжіть задачу.
1. Знайдіть перші чотири члени геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 25, q = -0,2.
2. Знайдіть знаменник і 5-й член геометричної прогресії -72; 12; -2; ... .
3. Між числами 64 і 27 вставте два таких числа, щоб разом із даними числами вони утворювали геометричну прогресію.
4. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b10 = 25b8, b2 + b4 = -520 (q > 0).
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Оскільки між арифметичною та геометричною прогресіями існує досить велика кількість схожих моментів, то і вивчення основних програмових питань, що стосуються кожної з цих прогресій, проводиться за тією самою схемою. Тому так само, як це робилося на відповідному етапі уроку за темою «Сума перших п членів арифметичної прогресії», на даному уроці можна запропонувати учням розглянути та обговорити одну із прикладних задач на обчислення суми перших п членів геометричної прогресії (наприклад класичну задачу про винахідника шахів).
Після складання математичної моделі задачі учні усвідомлюють існування проблеми швидкого обчислення такої суми (маємо мотивацію до навчальної діяльності), а тому можемо сформулювати мету уроку: вивести формули для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії, а також вивчити питання про сферу їх застосування
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Чи є геометричною прогресією послідовність (хп):
1) -5; -5; -5; -5;
2) -5; 5; -5; 5; 3) 1; ; ; 
; 
?
2. Геометрична прогресія задана формулою n-го члена bn = 2
∙ 
. Назвіть:
1) b1; 2) q; 3) b2; 4) b5.
3. Дана геометрична прогресія (bn). Знайдіть b3, якщо:
1) b2 = 0,2, b4 = 5; 2) b4 = 7, q = -0,1; 3) b6 = 1, b5 = 2.
V. Формування знань План вивчення нового матеріалу
1. Формула для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії через n-й член.
2. Формула для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії через перший член і знаменник геометричної прогресії.
3. Приклади розв'язання задач на застосування вивчених формул.
Опорний конспект
|
Формули суми перших n членів геометричної прогресії |
|
Якщо (bn) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a Sn — сума перших п її членів, то:
або ! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b1 ∙ n (b1 = b2 =... = bn). |
|
Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометричної прогресії (bn): 3; -6; 12; ... . Розв'язання: Маємо b1 = 3, q = S8 = Відповідь: -255. |
|
Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bn), якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1. Розв'язання Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,1, тому, оскільки Відповідь: -0,1. |
Виведення формул для обчислення суми перших n членів геометричної
прогресії проводиться за традиційною схемою: спочатку виводиться формула 
, а потім, застосувавши до цієї формули формулу n-го члена геометричної
прогресії, виводять формулу 
(q 
1). Так само, як і при вивченні питання про обчислення суми перших п
членів арифметичної прогресії, після виведення формул розглядаються найтиповіші
задачі на застосування цих формул (див. опорний конспект).
VI. Формування вмінь Письмові вправи № 19.1, 19.3. 19.5.
Запропонований набір вправ спрямований на закріплення виведених на попередньому етапі уроку формул для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії, на вироблення оперативних умінь щодо їх застосування в стандартних ситуаціях як в прямому, так і в зворотному напрямі, а також сприяють повторенню та закріпленню вивченого в цій темі матеріалу.
VII. Підсумки уроку Контрольне завдання
Дано геометричну прогресію (сn). Визначте, чи є правильними формули, і виправте знайдені помилки.
1) cn = cn-1 +
d (d = const); 2) cn = cn-1 ∙ a (a
= const, a 
0);
3) 
(a = const, a 0); 4) 
(a = const)?
VIII. Домашнє завдання п.19, № 19.2, 19.4. 19.6.
УРОК № 9
Тема. Сума перших n членів геометричної прогресії
Мета уроку: закріпити знання учнів про зміст означення та супутніх понять геометричної прогресії, а також про її основні властивості. Доповнити ці знання знанням формули n-го члена геометричної прогресії. Закріпити вміння: вирізняти геометричну прогресію серед числових послідовностей, відшукувати знаменник геометричної прогресії, перші члени геометричної прогресії, а також використовувати властивості геометричної прогресії. Сформувати вміння записувати формулу n-го члена геометричної прогресії, а також розв'язувати різні за змістом задачі на використання цієї формули.
Тип уроку: доповнення і закріплення знань, відпрацювання вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: опорний конспект.
Хід уроку
І. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання № 19.4 (2 учні виконують на дошці),
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку.
Можливі помилки при виконанні тестових завдань на попередньому етапі уроку мають переконати учнів у необхідності подальшого опрацювання матеріалу попереднього та інших уроків в напрямі закріплення знань та вироблення сталих умінь використовувати ці знання як в стандартних, так і в нестандартних ситуаціях. Це твердження виражає основну мету уроку.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Яка послідовність називається геометричною прогресією? Наведіть приклад.
2. Чому дорівнює відношення двох сусідніх членів геометричної прогресії, починаючи з другого?
3. Як задати геометричну прогресію?
4. Як записується формула п-го члена геометричної прогресії?
5. Як записується формула суми перших л членів геометричної прогресії, якщо відомі:
1) її перший член і знаменник; 2) її перший член, знаменник і n-й член?
V. Відпрацювання вмінь Письмові вправи: №19.9, 19.11, 19.15.
VI. Підсумки уроку
Учні узагальнюють основні типи задач на застосування формул для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії.
VII. Домашнє завдання
Виконати самостійну роботу (див. нижче) за варіантом, указаним учителем.
Самостійна робота
Варіант 1
Знайдіть суму:
1) перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 8, q = ;
2) перших шести членів геометричної прогресії (bn): 
; 
; ; … ;
3) перших семи членів геометричної прогресії (bn), якщо вона задана формулою загального члена bn = 3 ∙ 2n+1;
4) перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), якщо сума другого і третього її членів дорівнює -12, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 48.
Варіант 2
Знайдіть суму:
1) перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 625, q = 0,2;
2) перших шести членів геометричної прогресії (bn): 18; 24; 32; ...;
3) перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), якщо вона задана формулою загального члена bn = 5 ∙ 2n-1;
4) перших п'яти членів геометричної прогресії (bn), якщо різниця третього і другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 30.
УРОК № 10
Тема. Нескінченна геометрична прогресія (| q | < 1) та її сума
Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення нескінченної спадної геометричної прогресії та формули суми цієї прогресії. Закріпити знання учнів про зміст основних понять, пов'язаних із поняттям геометричної та арифметичної прогресій. Виробити вміння: наводити приклади нескінченних геометричних прогресій із | q | < 1; записувати формулу для знаходження суми таких геометричних прогресій; за формулою суми знаходити суму відповідної геометричної прогресії, а також розв'язувати задачі, що передбачають обчислення таких сум (зокрема, запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного дробу). Удосконалити вміння розв'язувати задачі на застосування вивчених властивостей арифметичної та геометричної прогресій.
Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашньої самостійної роботи).
Хід уроку
І. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Перевірка виконання завдань домашньої самостійної роботи
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Для усвідомлення учнями існування проблеми, що вирішується з допомогою формули, яка має бути вивчена на даному уроці, можна запропонувати їм виконати кілька завдань на порівняння (серед кількох прикладів геометричних прогресій виділяються такі, що будуть предметом подальшої розмови на уроці), а також завдання, що можуть привести учнів до розуміння «особливостей» геометричних прогресій зі знаменником | q | < 1. Після такої розумової роботи учнів учитель лише узагальнює висловлені думки та формулює основну дидактичну мету уроку: домогтися засвоєння учнями означення нескінченної спадної геометричної прогресії, формули суми цієї прогресії, а також виробити вміння наводити приклади нескінченних геометричних прогресій з | q | < 1; записувати формулу для знаходження суми таких геометричних прогресій; за формулою суми знаходити суму відповідної геометричної прогресії, а також розв'язувати задачі, що передбачають обчислення таких сум.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів Усні вправи
1. Чи є геометричною прогресією послідовність чисел:
1) 3; 1; ; 
; 
; 2) -3; 1; 
; ; 
; 3) 1; ; ; ; ; ?
Для геометричних прогресій знайдіть знаменник.
2. Як знайти суму перших десяти
членів послідовності:
1) (аn): 1; 2; 3; ...;
2) (bn): 1; 2; 4; 8; ...;
3) (cn): 3; 3; 3; ... ?
3. В геометричній прогресії (dn) d1 = ; q = . Знайдіть:
1) d2; 2) d4; 3) d10. Що можна сказати про її 100-й член?
4. Запишіть у вигляді суми розрядних одиниць числа:
1) 324; 2) 32,4; 3) 0,172; 4) 0,(2); 5) 1,5(3).
V. Формування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Уявлення про геометричну прогресію зі знаменником | q | < 1.
2. Формула суми геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1.
3. Приклади розв'язання задач на застосування формули суми геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1.
Опорний конспект
|
Нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1 |
|
Приклади: а) 1; ; ; ; ... q = , | q | < 1; б) 3; в) 100; 10; 1; |
|
Якщо (bn) — нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1, то сума всіх її членів S обчислюється за формулою
|
|
Приклад 1. Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії (bn): 6; -2; ... . Розв'язання За умовою b1 = 6; b2 = -2, отже, q = = у якої | q | < 1. За формулою
Відповідь; 4,5. |
|
Приклад 2. Запишемо число 0,(7) у вигляді звичайного дробу. Розв'язання Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777.... Його можна подати як нескінченну суму Доданки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої b1 =
|
Вивчення матеріалу уроку будується на
наочно-інтуїтивних уявленнях учнів про границю послідовності, подібно до того,
як це було зроблено в курсі геометрії при виведенні формул довжини кола, площ
прямокутника та круга. Важливо підкреслити, що формула 
виведена для суми всіх членів
нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1, а тому
відрізняється від формули суми перших п членів геометричної прогресії.
Також слід зазначити, що виведена формула дозволяє вирішити ряд практичних задач, зокрема записувати нескінченні десяткові періодичні дроби як звичайні (див. приклади розв'язання задач в опорному конспекті
VI. Формування вмінь Письмові вправи
✵ вивчена формула застосовується тільки для нескінченних геометричних прогресій та для обчислення тільки суми всіх членів нескінченної геометричної прогресії;
✵ вивчена формула є співвідношенням, що пов'язує три величини: перший член, знаменник та суму всіх членів нескінченної геометричної прогресії, а тому може бути застосована як для обчислення суми, так і для відшукання двох інших названих вище величин.
VII. Підсумки уроку Контрольні запитання
1. Дано геометричну прогресію
(bn): 1; ; ; ; 
; … .
1) Чи можна суму даної послідовності
обчислити за формулою ? Чому?
2) За якою формулою слід обчислити суму всіх членів даної послідовності?
2. Дано геометричну прогресію
(cn): 1; ; ; ; ; ... .1) Чи можна суму всіх
членів даної прогресії знайти як значення
виразу 
? Чому? Знайдіть цю суму.
2) Знайдіть суму перших чотирьох членів даної прогресії. Порівняйте її з числом, отриманим у попередньому розрахунку. Як можна пояснити результати порівняння?
VIII. Домашнє завдання
Вивчити зміст матеріалу уроку (див. опорний конспект). Розв'язати вправи, аналогічні за змістом розв'язаним на уроці.
УРОК № 11
Тема. Підсумковий урок з теми «Числові послідовності»
Мета уроку: повторити, систематизувати й узагальнити знання та вміння учнів щодо змісту вивчених у темі 4 понять (числова послідовність, арифметична та геометрична прогресії) і формул (формула загального члена, формула суми перших n членів та характеристична властивість арифметичної та геометричної прогресій), а також способів їх застосування при розв'язуванні задач, передбачених програмою з математики. Провести корекційну роботу з метою усунення причин найтиповіших помилок учнів. Підготувати учнів до виконання завдань контрольної роботи.
Тип уроку: систематизація й узагальнення знань та вмінь.
Наочність та обладнання: опорні конспекти.
Хід уроку
І. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.
II. Перевірка домашнього завдання
Учитель збирає зошити учнів із виконаною домашньою самостійною роботою на перевірку.
III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Основна дидактична мета уроку та завдання на урок цілком логічно випливають із місця уроку в темі — оскільки урок є передостаннім, підсумковим, то на порядку денному постає питання про повторення, узагальнення та систематизацію знань і вмінь, набутих учнями в ході вивчення теми 4. Таке формулювання мети створює відповідну мотивацію діяльності учнів.
IV. Повторення та систематизація знань учнів Усні вправи
1. Наведіть приклади послідовностей.
2. Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади арифметичних прогресій.
3. Як знайти різницю арифметичної прогресії?
4. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.
5. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії.
6. За якими формулами можна знайти суму перших п членів арифметичної прогресії?
7. Що називають геометричною прогресією?
8. Як знайти знаменник геометричної прогресії?
9. Сформулюйте властивості геометричної прогресії.
10. Запишіть формулу п-го члена геометричної прогресії.
11. За якими формулами можна знайти суму перших п членів геометричної прогресії?
12. За якою формулою можна знайти суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1 ?
V. Повторення та систематизація вмінь учнів
Методичний коментар
Типовими завданнями з теми «Числові послідовності» є такі:
1) знайти n-й член, суму перших п членів арифметичної прогресії;
2) знайти n-й член, суму перших п членів геометричної прогресії;
3) знайти суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1;
4) між даними двома числами вставити такі кілька чисел, щоб вони разом із даними утворили арифметичну (геометричну) прогресію;
5) знайти всі додатні (від'ємні) члени арифметичної прогресії;
6) знайти члени арифметичної (геометричної) прогресії, якщо відома сума (різниця) несусідніх її членів, взятих попарно.
7) Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь учнів є, по-перше, складені самими учнями узагальнені схеми дій при розв'язуванні типових завдань, по-друге, здійснення учнями необхідної частини свідомої розумової діяльності — рефлексії — відображення кожним учнем свого сприйняття своїх успіхів та, найголовніше, проблем, над якими слід ще попрацювати.
1. ( 1 бал ). Запишіть три перших члени числової послідовності, яка задана формулою х n = 2 n 2 + 3 n – 7.
2. ( 2 бали ). Знайдіть сьомий член і суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії ( а n ), якщо а 1 = 4; d = - 2.
3. ( 1 бал ). Знайдіть три перших члени геометричної прогресії ( b n ), у якої b 1 = 6; q = 1,5.
4. ( 2 бали ). У геометричній прогресії ( b n ) відомі b 4 = 12; b 5 = 24. Знайдіть перший член, знаменник та суму перших п’яти членів прогресії.
5. ( 2 бали ). Послідовність ( a n ) – арифметична прогресія; а 1 = 17,5;
d = - 1,5. Чи є членом цієї послідовності число: а) 2,5; б) – 6?
6. ( 2 бали ). Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які кратні 4 і не перевищують 240.
7. ( 2 бали ). При якому значенні х числа 4х + 11, 2х + 1 і х – 1 є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.
VII. Домашнє завдання п. 15-19(повторити), ст.194-195 тестові завдання.
VIII. Рефлексія
• На сьогоднішньому уроці ми дізналися …
• Сьогодні на уроці мені сподобалося …
• Сьогодні на уроці мені було важко …
• На сьогоднішньому уроці я навчився …
Контрольна робота № 4
Арифметична та геометрична прогресії
І варіант
1. ( 1 бал ). Запишіть три перших члени числової послідовності, яка задана формулою х n = 2 n 2 + 3 n – 7.
2. ( 2 бали ). Знайдіть сьомий член і суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії ( а n ), якщо а 1 = 4; d = - 2.
3. ( 1 бал ). Знайдіть три перших члени геометричної прогресії ( b n ), у якої b 1 = 6; q = 1,5.
4. ( 2 бали ). У геометричній прогресії ( b n ) відомі b 4 = 12; b 5 = 24. Знайдіть перший член, знаменник та суму перших п’яти членів прогресії.
5. ( 2 бали ). Послідовність ( a n ) – арифметична прогресія; а 1 = 17,5;
d = - 1,5. Чи є членом цієї послідовності число: а) 2,5; б) – 6?
6. ( 2 бали ). Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які кратні 4 і не перевищують 240.
7. ( 2 бали ). При якому значенні х числа 4х + 11, 2х + 1 і х – 1 є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.
ІІ варіант
1. ( 1 бал ). Запишіть три перших члени числової послідовності, що задана формулою х n = 3 n 2 + 2 n – 9.
2. ( 2 бали ). Знайдіть восьмий член і суму десяти перших членів арифметичної прогресії ( а n ), якщо a 1 = 5; d = - 3.
3. ( 1 бал ). Знайдіть три перших члени геометричної прогресії ( b n ), у якої b 1 = 2; q = 2,5.
4. ( 2 бали ). У геометричній прогресії ( b n ) відомі b 3 =2; b 4 = 4. Знайдіть перший член, знаменник та суму перших шести членів прогресії.
5. ( 2 бали ). Послідовність ( а n ) – арифметична прогресія; a 1 = 19,5;
d= - 2,5. Чи є членом цієї послідовності число: а) 6,5; б) – 13?
6. ( 2 бали ). Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які кратні 6 і не перевищують 420.
7. ( 2 бали ). При якому значенні х числа 4х + 19, 2х + 5 і х + 1 є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.
Цікаві задачки та загадки
Я дуже люблю цікаві задачки та загадки. Логічні, математичні, візуальні, дедуктивні, прості, складні… будь-які! Тож представляю декілька завдань, які змусять відкласти усі справи і помізкувати. Знаєш відповідь? Сумніваєшся і хочеш перевірити? Пиши свої варіанти у коментарях!9 + 2 + 4 = 183 652
8 + 6 + 3 = 482 466
5 + 4 + 5 = 202 541
Лютий: 5216
Березень: 832
Квітень: 7415
Травень: 7523
Червень: 7628
Липень: 6716
Серпень: 7822
Вересень: 893
Жовтень: 7109
Листопад: 81116
- 99+9/9=100
- 143547
- 7124
- Через 22 роки
Вікторина цікавих запитань
Дорогий друже! Якщо Ти людина азарту і просто не можеш дозволити
однокласникам виграти в Тебе змагання на кмітливість, ці запитання якраз для
Тебе. Веселі завдання від Пустунчика чудово тренують увагу і розвивають
кругозір. Отож, на порядку денному — вікторина для дітей.
Загадки на кмітливість
1. Яку воду можна принести в ситі?2. Кінь перевозить 10 кг вугілля, а поні — 10 кг вати. У кого вантаж важчий?
3. Що посеред землі стоїть?
6. Коли ми, дивлячись на цифру «два» кажемо «десять».
7. Складіть віршик з шести літер.
8. Їде чоловік у потязі, сниться йому, що сидить він на підлозі, а дошки у безодню летять. Глядь—лише одна дошка залишилась. Що треба зробити чоловіку, аби не впасти?
9. Від чого у качки ноги червоні?
10. В якому морі води немає?
11. Сорок п’ят і сорок п’ят — скільки буде?
12. Що дістане зубами потилицю?
13. Який острів каже, що він одяг?
14. Ішли дві матері і дві дочки. Знайшли три яблука і поділились. Кожній дісталось по одному. Як так вийшло?
15. Яке ім’я хлопчика вперед і назад читається однаково?
16. Коли людина в кімнаті може бути без голови.
17. Коли дурень розумний.
18. Що спочатку треба зробити, лягаючи спати?
19. У млині було вісім мішків, на кожному мішку сиділо по дві миші, прийшов мельник з котом, скільки тепер стало ніг?
20. Хто показує кожному його обличчя, бо не має власного?
Відповіді
1. Заморожену.2. Вантаж однаковий — 10 кг.
3. Літера «м».
4. Запасне.
5. Літера «б».
6. Коли стрілка годинника показує десять хвилин.
7. Віршик.
8. Прокинутись.
9. Від колін.
10. У тому, що на карті в атласі.
11. Вісімдесят п’ят.
12. Гребінець.
13. Ямайка.
14. Йшли внучка, мама та бабуся.
15. Пилип.
16. Коли виглядає у вікно.
17. Коли мовчить.
18. Сісти.
19. Дві ноги мельника.
20. Дзеркало.
Каверзні загадки для дітей
Спробуй розгадати ще одну добірку загадок — перевір, на що Ти здатен! Каверзні загадки допоможуть весело провести час і стати ще трішечки розумнішим.1. До річки підходять двоє людей. Біля берега човен, яка може витримати тільки одного. Обидві людини переправилися на протилежний берег. Як?
2. У кого вуса довші від ніг?
3. Знаменитий фокусник говорить, що може поставити пляшку в центрі кімнати і вповзти в неї. Як він це зробить?
4. Що йде то під гору, то з гори, але залишається на місці?
5. Де зустрічається таке, що кінь через коня перестрибує?
6. У батька Мері є 5 дочок: Чача, Чічі, Чече, Чочо. Як звуть п’яту дочку?
7. Стоять багатий будинок і бідний. Вони горять. Який з них буде гасити поліція?
8. Що може бути в порожній кишені?
9. Що робить охоронець, коли у нього на кашкеті сидить горобець?
10. У директора школи є брат Микола. Але у Миколи немає братів. Чи може таке бути?
Відповіді
1. Вони були на різних берегах. 2. У таракана.3. вповзти в кімнату може кожен.
4. Дорога.
5. У шахах.
6. Мері.
7. Поліція не гасить пожежі.
8. Дірка.
9. Спить.
10. Так, якщо директор школи жінка
Запропонуй друзям весело провести час, відгадуючи незвичайні загадки. Вікторина цікавих запитань — найкраща позакласна розвага для дітей.
Немає коментарів:
Дописати коментар